matlab求傅里叶级数展开式_简单粗暴傅里叶级数

发布于:2021-09-26 08:54:44

简单粗暴傅里叶级数

楠木wnn2000@hust.edu.cn



为什么写本文?

作为笔记。


为什么给文章取这个名字?

前段日子拜读过某pku学霸的《简单粗暴 TensorFlow》。这篇教程,是不可多得的 TensorFlow 中文好教程。为了向这篇教程的作者致敬,我给这篇文章取这个名字。


鸣谢

特别感谢我的好友兼偶像,华中科技大学物理学院的黄晨同学给本文校对。



一、预备知识
1.欧拉公式






欧拉是这样证明它的。

由指数函数的麦克劳林展开式,有:




将其中的

换成


,就得到:





得证。

证明看起来很完美,但是有一个小问题??麦克劳林展开的对象是实函数,当带上虚数单位

后能这样展开吗?


这种证明是不严谨的。
事实上,欧拉公式是复指数函数定义的推论。

复分析中定义复指数函数如下:




由这个定义,欧拉公式显然成立。

下面是一本教材中的内容。可以看出欧拉公式其实是这个定义的推论,而不是证明出来的。





2.复指数的周期性

在实数域,指数函数没有周期性,而在复数域,它有周期性。
从上述指数函数的定义,显然有:






周期为



3.复指数的积分

我们考虑这样一个指数为纯虚数的复指数:






其中,




是整数,


是常数,


是自变量。


当它在一个周期内积分时,有:




显然,如果

,由于三角函数在周期内积分值为


,那么最终结果就是





如果

,结果为





事实上,这就是
三角函数的正交性
二、傅里叶级数
1.定理的必要性

在工程上,虚数单位



写作





对于周期为

,角频率


的函数


,不妨假设它可以展开成复指数级数(?):





接下来,我们来确定系数

? 。


在等式左右两边同时乘以

,并在一个周期内取定积分:





若交换积分和求和顺序(?),继续计算




由预备知识可知:




那么上面的式子就可化为:




所以,我们得到系数







至此,我们证明了必要性,即函数

展开成复指数级数的必要条件是其系数


为上式。


充分性请读者参考
狄利克雷定理,这里不给出证明。

积分和求和交换次序的问题请读者参考
分析教材,这里不给出证明。

至此,我们就将一个周期函数展开成了复指数级数。
2.如何理解?

如何理解这个式子?






其中,




从信号的分解角度看,对于任何一个
满足迪利克雷条件的周期信号,我们都可以将它分解成若干个频率为

的复信号。其中,


是原信号的角频率,称为基波频率。原信号是由无穷多个

频率为



的整数倍的复信号叠加而成的。
3.为什么要这样分解?

如果你学过《信号与系统》,你就能更好理解这样分解的好处。
对于一个线性时不变(LTI)系统,假设系统单位冲激响应为



。当输入信号为


时,系统的输出


满足:





如果输入的是一个复指数信号

,则由上述公式,有:





其中

是只与


有关的复常数。


当输入信号是复指数信号时,我们可以很容易确定它的输出信号??
一个复常数乘上输入信号

根据线性时不变(LTI)系统的线性性,输出信号是输入信号分解后,各分解信号单独作用的输出的线性组合。

如果我们利用
傅里叶级数,将一个输入信号分解成若干个复指数信号,则输出信号就是这些复指数信号单独作用的输出的线性组合。而复指数信号单独作用的输出的形式又特别简单,将它们线性组合后,我们就能简单地获得总输出。

这就是我们展开成傅里叶级数的理由。

实现了从时域到频域的转变。
三、傅里叶级数的性质

对于一个周期函数,将其展开成系数为



的傅里叶级数:


,则它有以下几点性质。

1.线性性

线性组合的傅里叶级数等于傅里叶级数的线性组合。


2.时移



的傅里叶展开式系数如下:




3.时间伸缩



的傅里叶展开式系数如下:








特别要注意,函数的周期和频率都发生了变化。

可见时间伸缩后,其各项系数不变,但是它的基波频率发生了改变。

减小周期,会增大基波频率;增大周期,会减小基波频率。
4.时间反褶

因为,






所以,




所以,

的展开系数为




5.微分性质






的导函数,则


的傅里叶级数系数





证明如下:



6.实信号

如果



是实信号,那么


?


证明如下,因为:




则,




因为,




所以,



7.奇偶性

如果



是实偶函数,那么





如果

是实奇函数,那么





不给出详细证明了,可以简单理解。

因为是实函数,根据上条性质,可设







如果是偶函数,则

是余弦函数的线性组合。利用

欧拉公式将余弦转换成复指数,其系数都是实数。故




如果是奇函数,则

是正弦函数的线性组合。利用

欧拉公式将余弦转换成复指数,其系数都是纯虚数。故



8.帕斯瓦尔定理

定理如下:





具体证明比较简单就不给出了。
事实上,这个式子表示了功率守恒。左边是原信号单位的功率,右边是级数各部分的功率和。
有人可能会有疑问,为什么和的*方会等于*方的和?实际上,这个问题的答案就是三角函数的正交性,只有同频率的相乘积分才不为






全文完







相关资源:MATLAB傅里叶级数

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